对直线问题中一个典型性错误的思考

丁涛（江苏省泰兴市第四高级中学）

  摘 要：解析几何是必修2的重点章节，而直线为又为这一节的重头戏，是学生接触解几的入门内容，因此学生在初学过程中极易易犯一些概念性及理解不全面等方面的错误，而老师讲解方式不当或者纠错不到位更容易导致学生犯一些典型性错误.而如果教师能够做到授课时让学生充分参与、教会学生解题时做到“心中有谱”就能避免一些典型性错误的发生了.

  关键词：直线问题 典型错误 思考

  解析几何是必修2的重点章节，而直线为又为这一节的重头戏，是学生接触解几的入门内容，因此学生在初学过程中极易易犯一些概念性及理解不全面等方面的错误，而老师讲解方式不当或者不到位更容易导致学生犯一些典型性错误.本文针对最近授课过程一道例题的典型性错误举例剖析，以期能和广大同仁一起探讨.

  例题．已知直线l过点（0,4），并且A（1,3），B（3,5）到直线l的距离相等，求直线l的方程.

  错解：因为点A与点B到直线l的距离相等，所以，故kl=kAB，由于，所以直线l的方程为y-4=x-0，即x-y+4=0 剖析：错解只考虑到当直线时，点A和点B到直线l的距离相等，而忽视了当A、B在直线l的两侧时A、B到直线l的距离也可能相等，此时直线l经过A、B的中点.

  正解：（1）当A、B两点在直线l的同侧时 因为点A与点B到直线l的距离相等，所以，故kl=kAB 由于，所以由点斜式得直线l的方程为：y-4=x-0 即x-y+4=0 （2）当A、B两点在直线l的两侧时 由于点A与点B到直线l的距离相等，所以直线l经过A、B两点的中点（2,4）， 由于直线l过（0,4），所以直线l的方程为 y=4 综上：直线l的方程为x-y+4=0或y=4 反思：学生对此类型的题目似乎“屡教不改”，即使在训练了若干次后还是有相当一部分部分学生不能给出完整的解答而出现漏解现象，难道仅仅是学生粗心所致吗？答案是否定的.究其原因笔者觉得主要有两个原因：第一，授课时教师采用了“一言堂”的教学模式，学生的主动性与主体性得不到充分的发挥，学生对待课堂采取了旁观的态度，长期下来导致学生重听讲演练、重结果轻过程、重形式轻理解等现象的产生；第二：在纠错环节为了节约教学时间教师在对错误的讲评往往采用集中讲评纠错的方法，这种处理方法虽然对错误进行了归纳整理，却忽视了对学生个人具体错误情况的分析.其实我们换个方式也许情况就不一样了，以下是本人在处理这道题时的一个教学片断： … 师:请大家思考一下点A、点B在什么样的情况下到直线l的距离相等？ 生1：A、B两点的连线和直线l平行 师：很好，我们都知道当两条直线平行的时候其中一条直线上所有的点到另外一条直线的距离都相等，那么我们找到了解决问题的突破口，这道题就很好解决了，下面我请一位同学到黑板上把解题过程写出来.（学生甲（数学基础一般）很快给出了错解的解题过程） 师：大家都算到结果了吗？（欲擒故纵，让学生在出错后猛醒） 生：是的. 师：原题设两个定点A、B被我们转化为一条直线AB，A、B两个点到直线l的距离相等，我们转化成了直线，那是因为如果两条直线平行，那么其中一条直线上任意一点到另外一条直线的距离相等，这里采用了化归思想，但是化归最基本原则是两个命题要严格等价，大家考虑下“A、B两个点到直线l的距离相等”与“直线”等价吗？否则我们解出这道题只能算是“拍脑袋”即兴想法，说不定下次就忘记了.（暗示学生问题没有那么简单，同时提醒学生化归后要反思命题是否等价） 生2：还有其他情况（黄同学突然悟出点什么）. 师：哦，那你说说看？ 生2：还有可能l经过A、B的中点，也就是A、B两点在直线l的两侧，同样满足A、B到l的距离相等. （其他同学恍然大悟纷纷点都同意黄同学的观点） 师：很好，看来我们刚才的化归并不等价，所以我们在以后的解题中一定要注意命题的等价性，否则我们的解题过程不管多严密、细心都是做的无用功，大家可要记住了.那么我们还能找到第三种情况吗？ （一片沉默） 生3：可能还有第三种情况（班上有不少的同学表示有第三种情况存在的可能性）. （班上展开了热烈的争论） 生4：老师，不存在第三种情况（一语惊人） 师：哦，为什么？你说说看你的想法？ 生4：我们可以把A、B两点与直线l的位置关系分成两类：“A、B在直线l的同侧”和“A、B在直线l的异侧”除了这两种情况没有第三种情况了. 师：非常好，这样一来我们的解题过程就完整了，因此我们以后在遇到分类讨论题时要如何做到讨论的不重不漏，我们必须要有一个明确的分类标准，这个标准就是我们在解题时心中的一个“谱”，只有做到“心中有谱”我们才会在遇到类似题目时避免讨论的随意性也就自然不会出现“考虑不全面”这些典型错误了.其实这道题我们也可以直接证明出来. 板演实例：设l的方程为Ax+By+C=0（A、B不全等于0） 因为A、B到直线l的距离相等，所以有点到直线的距离公式可得 ，化简得： 由于直线l经过点（0,4），所以4B+C=0 这样我们可以得到一个方程组 解得或者 这样我们求得直线方程为x-y+4=0或y=4 师：证明结果和我们讨论的结果一样（同学们会心地笑了） … 以上片断的处理方式有些老师可能觉得费时，啰嗦了半天不就是为了告诉学生答案有两种情况，最后还来了个证明，还不如直接告诉学生，然后通过大量的习题来巩固，还能记不得？但笔者想强调的是对一种题型反复、大量的训练，可能短期效果明显，但那只是学生在记住老师的话的基础上“依葫芦画瓢”，这只是一个识记过程，不能算是只是的运用，更谈不上学生数学能力的培养了.因此它的危害也不可忽视的：学生养成一种凭记忆、凭经验解题的思维习惯，而不是从分析题目开始去解决问题，这样时间久了学生对老师以前讲过的方法还是记不住，这样导致学生考场出错，考试后抱怨自己粗心，教师责备学生讲过的、练过多次的还是记不住. 笔者想用一段教育上比较流行的话来总结：“告诉我，我会忘记；分析给我听，我可能记住；但让我参与，我会真正理解”.的确，只有让学生参与解题教学过程，学生才可能理解得深刻，才能记得牢靠. 学生不一定能够记得住老师课上讲过的某一段话，但一个有他充分参与的教学情景他会记得很真切.每一种经典的解题方法都是前人经过“火热的思考”总结出的“冰冷的美丽”，但我们在教学生解题切忌直接呈现给学生“冰冷的美丽”而是打开它，带领学生再一次进行火热地思考，这样才能提高学生的思维能力，才能内化为品质.这样，学生也就不会出现所谓“粗心”了，自然也就不会“屡教不改”了.

  参考文献： [1]张雪松．防范高考失误的一点尝试[J]．中国数学教育（高中版），2010（1/2）：66-67．

                       [2]方积粮．浅析数学解题过程中的逻辑性错误[J]．福建中学数学，2010（4）：37-38．

                       [3]蒲淑萍.改错再错，都是“粗心”惹的祸[J].数学教学通讯，2009(6):48-49.